en mat. opg.

[MissTurkii]

en der vil hjælpe mig med denne opgave som jeg mangler:

I en matematisk model for befolkningstallets udvikling i New York (målt i tusinder) i årene 1790 – 1900 beskrives dette ved følgende udtryk: y=36,3 * 1,044², hvor t angiver antal år efter 1790.
Hvad angiver tallet 36,3?
Hvor stor var den årlige procentvise tilvækst i befolkningstallet ifølge modellen?
Indbyggertallet udviklede sig faktisk i årene 1790 – 2000 efter følgende opgivne datamateriale. Kommenter modellen ud fra disse oplysninger.

[rushy]

en der vil hjælpe mig med denne opgave som jeg mangler:

I en matematisk model for befolkningstallets udvikling i New York (målt i tusinder) i årene 1790 – 1900 beskrives dette ved følgende udtryk: y=36,3 * 1,044², hvor t angiver antal år efter 1790.
Hvad angiver tallet 36,3?
Hvor stor var den årlige procentvise tilvækst i befolkningstallet ifølge modellen?
Indbyggertallet udviklede sig faktisk i årene 1790 – 2000 efter følgende opgivne datamateriale. Kommenter modellen ud fra disse oplysninger.

tallet 36,3 angiver befolkningstallet til at starte med - dvs. år=0 er befolkningstallet=36,3 (målt i tusind)

Den årlige procentvise tilvækst i befolkningstallet kan du finde en formel for i din formelsamling.. jeg kan ikke lig huske den.

[Nightingale]

Bare benyt rentes regning. Det er den samme vækstfunktion.
k=k0(1+r)^x, så kan du hurtigt se hvad den procentvise stigning er.

Til sidst er det bare at sammenligne realiteten med modellen og kommentere resultatet.

[The-Earth]

Salam Aleikum

Jeg vil også anvende renteformlen kn=k0(1+r)^n for at finde den procentvise stigning.

Hvor begyndelses "beløbet" er Ko
Beløbs efterterminer: kn
Væksraten: r
Fremskrivningsfaktoren: 1+r

Håber ikke at jeg tager fejl så er det en eksponentiel vækst, f(x)=b*a^(x) ---> da dit udtryk: y=36,3 * 1,044²
HÃ¥ber det hjalp ..

Peace..

[MissTurkii]

er helt lost lige nu. hvorfor skal man nu bruge renteformel? jamen de tal kan da ikke bruges i den formel? Hvordan ville i så sætte de tal ind i formlen som vi får oplyst?

[Nightingale]

Renteformlen er bare en omskrivning af den eksponentielle vækst, hvor du kan se præcis hvad renten er.
I dit tilfælde er renten "skjult" i 1,044 og din startkapital kunne lige så godt være antallet af indbyggere i år 0.

Kan du så gennemskue hvad den procentvise stigning er nu? du ved allerede at start-antallet af indbyggere er 36300, som vi også kunne kalde din startkapital.

Håber du har fået gennemskuet det nu

[Nightingale]

Forestil dig at vi har grundlægger en by med 100 indbyggere.
Et år efter er antallet af indbyggere steget til 110, altså befolkningen er steget med 10 %.
Nu vil vi gerne forudsige hvor mange indbyggere vi har 5 år efter grundlæggelsen, så vi opstiller en model.
f(x)=100*1,1^x, hvor x er antallet af år efter grundlæggelsen.
Ovenstående formel passer til den eksponentielle vækst: f(x)=b*a^x.
Her er b begyndelsesværdien, fordi at vi i år 0 (x=0) får f(x)=100.
Beregning:
f(x)=100*1,1^0, men da alting opløftet i 0 giver 1, giver f(x)=100*1=100, altså antallet af indbyggere fra start og derfor begyndelsesværdien.
Hvert år stiger befolkningen med 10 %, men vi kan ikke bare skrive f(x)=100*0,1^x, fordi så ville antallet af indbyggere jo falde. Da 0,1 er under en.
Så vi siger at vi ligger 10% oveni antallet af indbyggere vi allerede har. Antallet må være 100%, som kan skrives som 1. Og så skal der lægges 10% til, så det giver 1+0,1=1,1.
Ergo ser modellen nu således ud: f(x)=100*1,1^x.

evt. kig på http://mimimi.dk/c/funktionsTyper.pdf
Kan du så se at den faktisk ligner rentes formlen, hvor vi har startkapitalen som begyndelsesværdi og renten som vækstfaktoren.
Eksempelvis: du har 100kr fra start som du putter i banken og får 10% i rente af. Nu vil du gerne vide hvor mange penge du har efter 5 år.
Så du laver en model: f(x)=100kr*1,1^x, hvor x er antallet af år. Men de 1,1 var jo i virkeligheden 1+0,1, som igen var 1+10%.
Så du skriver det en smule anderledes: 1,1=(1+0,1) som så ligner (1+r) som er i rentes formlen. Her var r jo lig renten og den var 10% i ovenstående tilfælde. Så du skriver det ind i din ligning: f(x)=100*1,1^x kan skrives som f(x)=100*(1+0,1)^x som så ligner rentes formlen: f(x)=100*(1+r)^x som igen bliver til f(x)=k*(1+r)^x.

Giver det mere mening nu eller har jeg bare forvirret dig yderligere?

[MissTurkii]

ok er med nu tak.