hjælp.. optimering..??

[islamrose]

Salam alekom

Jeg har fået følgende opgave for, som jeg ikke kan finde ud af, jeg håber I kan hjælpe mig:

Af en cirkel kan man lave et udsnit, hvoraf der kan dannes en kegle (et kræmmerhus).
Beregne udsnitsvinklen, så keglens volumen bliver størst mulig. Cirkels radius er til 10 cm.

jeg tror man skal bruge optimering her, men ved ikke lige hvordan..
jeg har fundet et udtryk for keglens volumen V = 1/3 * h * pi * r^2 (h er højden)
Og et udtryk for udsnitsvinklen: vinklen = A * 360 / pi * r^2 jeg ved ikke om de kan bruges!! Hehe

På forhånd tak..

Fi aman Allah

[Uffe]

Uhhh, det ligger godt nok langt tilbage i hukommelsen, og jeg har i forvejen hovedpine. Men hvis der ikke er andre, der byder ind, skal jeg nok kigge på det i morgen.

[Uffe]

Jeg har ikke så meget tid til at forklare grundigt, men jeg håber, at der også står noget om optimering i din matematikbog.
I optimering skal man generelt udtrykke én ting ved hjælp af en anden, derefter finde denne funktions maksimum eller minimum og så sætte ind i det oprindelige udtryk.
Et enkelt eksempel:
For et rektangel gælder, at den ene side, y, max må være 24 cm lang og at den samtidig skal være dobbelt så lang som højden, x. For hvilken højde x, har rektanglet det største areal?:
Vi benævner stadig x som x, men y kan nu udtrykkes ved hjælp af x: y=24-2x.
Arealfunktionen bliver derfor: A(x)=x*(24-2x) = -2x^2 + 24. For at finde denne funktions maksimum, differentierer jeg og sætte lig med nul:
max(A) <=> A'(x)=0 <=> -4x+24=0 <=> x=6..
y bliver således 12, og det samlede areal 36 cm2.

PÃ¥ samme mÃ¥de skal du nu omskrive dit keglerumfang V, sÃ¥ det bliver udtrykt som funktion af vinklen φ.
Lad os først se på V, idet man godt kan ryge i en fælde:
V=1/3 * h * π * r^2.
Forestil dig keglen som et udsnit af cirklen. Du vil nu opdage, at h er lig med cirklens RADIUS, som er 10 cm. Det er sÃ¥ledes udtrykket for keglens radius, r, du skal udlede fra din formel om cirkeludsnittet. Heri vil φ indgÃ¥. Du fÃ¥r sÃ¥ledes opskrevet en funktion;
V(φ)= 1/3 * 10 cm * π * r(φ)
Denne skal du differentiere og sætte lig med 0. Herved finder du værdien for φ, der giver den største vinkel.

Som sagt ligger det her et stykke tid tilbage for mig, så hvis nogen kan se, at jeg har skrevet noget forkert, må de endelig sige til!

[Uffe]

Jeg kom lidt hurtigt omkring med det med at finde maksimum: Det er ikke nok at finde nulpunktet/nulpunkterne for den afledede funktion; man skal undersøge monotoniforholdene for at bevise, at det rent faktisk ER maksimum og ikke minimum, man har fundet.

[islamrose]

I min bog er der tre forskellige eksempler til optimering. I disse eksempler går man ud fra to formler, som så bliver sat sammen til en funktion. Og det var det der forvirrede mig lidt. Jeg forstår godt det der med monotoniforholdene og at man skal differentiere.
Jeg troede bare at man skulle bruge de formler som jeg skrev føre ( V = 1/3 * h * pi * r^2 udsnitsvinklen = A * 360 / pi * r^2 ) til at sætte dem sammen, til en funktion( med vinklen som den uafhængig variabel) på en eller anden måde.

tusind tak for hjælpen.

Her er en af de eksempler som står i men bog:
I en kennel vil man lave en rektangulær hundegård. Der er 20 meter hønsetråd til rådighed. Hvad skal rektanglets, længde og bredde være, for at hundene får det størst mulige areal til rådighed?

For et rektangel mad længde l og bredde b har man følgende udtryk for omkredsen og arealet:

O = 2 l + 2 b og A= l * b
Da omkredsen skal være 20 meter fås følgende:
20 = 2 l + 2b de isolere b og får: b= 10 – l
de vælger l som den uafhængige variabel:

A (l) = l * b = l * (10– l)= - l^2 + 10l

Også har man følgende funktion, som skal differentieres for at bestemme monotoniforholdet:
A (l) =- l^2 + 10l

[Uffe]

I min bog er der tre forskellige eksempler til optimering. I disse eksempler går man ud fra to formler, som så bliver sat sammen til en funktion. Og det var det der forvirrede mig lidt. Jeg forstår godt det der med monotoniforholdene og at man skal differentiere.
Jeg troede bare at man skulle bruge de formler som jeg skrev føre ( V = 1/3 * h * pi * r^2 udsnitsvinklen = A * 360 / pi * r^2 ) til at sætte dem sammen, til en funktion( med vinklen som den uafhængig variabel) på en eller anden måde.

Yes, det er også lige det, du skal
Det er bare et lidt trælst udtryk at skulle isolere i... Men det er jo typisk, hehe; eksemplerne er altid nemme, og opgaverne er svære.